抛物面零件尺寸的准确计算
及其在五金制品设计中的应用
山东省五金研究所 郑培智
【摘要】 为解决抛物面零件的准确设计和拉深毛坯的准确计算问题，本
文推导了抛物线旋转体的体积和表面积的求解公式，详细描述了它在五金制品设计中的应用
。
【主题词】 抛物面 体积 面积 毛坯
1 前言 2 抛物线旋转体体积和表面积公式的推导
目前，不锈钢等金属制品正在开发。为了达到外形美观，这类产品的外形有不少
是抛物线旋转体或其一部分。但由于手册资料中查不到抛物线旋转体积和表面体的计算公式
(文献〔1〕给出了以作图方式求解旋转体表面积的方法，既繁琐又不准确)，因此
抛物线旋转体产品的准确设计和拉深毛坯的精确计算无法进行。本文运用微积分〔2〕
推
导了抛物线旋转体的体积和表面积的准确表达式，并给出了在五金制品设计中的应用实例。
2.1 抛物线方程
抛物线的一般方程是y=ax2+bx+c
移动y轴过抛物线的顶点，抛物线方程可简化为y=ax2+c。
2.2 抛物线旋转体的体积
现求图1所示的抛物线y=ax2+c绕y轴旋转一周形成的抛物线旋转体的体积。
设抛物线旋转体两底面半径为R,r,高为h，因为坐标P(r,0)和Q(R,h)满足方程y=ax+2+c所以
有0=ar2+ch=aR2+c解此方程组，得
a=h/(R2-r2)
故方程为y=h/(R2-r2)x2-hr2/(R2-r2)
简记为y=Ax2-B
式中 A=h/(R2-r2）
B=hr2/(R2-r2)
图1 抛物线参数图
平移坐标轴，使该抛物线的顶点成为新坐标系αO′β的原点O′，见图2。
图2 体积用图
点O′的y坐标是-|B|，
在新坐标系αO′β中，抛物线方程为β=Aα2
即α=Sqr（β／A）
坐标变为P(r,B),Q(R,B+h)，
由微积分知识知，抛物线旋转体的体积
V=∫(B+h)/B(πα2dβ)
=π∫(B+h)/Bβ/A*(dβ)=πβ2/2A](B+h)/h
=π/2A〔(B+h)2-h2〕
=π/2(R2+r2)h…………(1)
2.3 抛物线旋转体的表面积
由旋转曲面的特点，知抛物线β=Aα2绕β轴旋转一周生成的曲面方程为β=A(α2+γ
2),见图3。
图3 表面积用图
用求解曲面面积的公式，求抛物线旋转体的表面积(侧面积)S。
由δβ/δα=2Aα，δβδγ=2Aγ
Sqr（1+(δβ/δα)2+(δβ/δγ)2)=
Sqr（1+4A2(α2+γ2))
得S=XDSqr（1+δβ/δα)2+δβ/δγ)2)*dαdγ
=XDSqr（1+4A2(α2+γ2))*dαdγ
.
.
.
式中 T=4h2(R2-r2)2
2.4 完整抛物线旋转体的体积和表面积
所谓完整抛物线是指抛物线有顶点，即r=0的情况。
对于完整抛物线，令r=0,代入(1)(2)两式可得结果：
V=π2R2h ……(3)
式中 T=4h2/R4
3 在五金制品设计中的应用
这主要有两方面的应用，一是拉深毛坯计算，二是产品设计。表面积公式主要用
于求拉深毛坯尺寸，体积公式主要用于求产品的容积，抛物线方程用于描述抛物线(产品)的
轨迹。
3.1 拉深毛坯计算
拉深毛坯计算采用公式(2)或(4)。例如：有一国外引进的不锈钢碗，底面是圆，侧表面是抛
物曲面。测得碗口直径160mm，碗底直径70mm,碗高67mm，不锈钢厚0.8mm。若要生产这种不
锈钢碗出口，求所需拉深毛坯的直径。
取修边余量3mm，则R=80,r=35,h=67+3=70,由公式(2)得：
T=4h2(R2-r2)2=
4×702(802-352)2=7.319×10-4
碗侧部表面积S侧=
2π3T〔(1+TR2)3-(1+Tr2)3〕
=2π3×7.319×10-4×〔(1+7.319×10-4×802)3-(1+7.319×10-4×352)3〕=9964.93π
碗底部面积S底=πr2=π×352=1225π
碗整个表面积S=S侧+S底=11189.93π
因为毛坯面积与拉深件面积相等，所以拉深毛坯直径D=4Sπ=4×11189.93ππ=211.56mm。
3.2 产品设计
例如：设计一种盛酒15ml的酒盅，其盛酒部分是完整抛物线旋转体。求盛酒部分的口径、高
度和它所满足的抛物线方程。
根据经验，盛酒部分的高度与口部直径之比符合黄金分割率最为美观，因此取
h2R=0.618。根据已知：V=15ml=15cm3=1.5×104mm3
利用公式(3)得V=π2R2h=π2×R2×(0.168×2R)=0.618πR3
由上两式相等，解出：R=19.77mm
2R=39.54mm,h=24.43mm
抛物线方程y=Ax2-B
A=hR2-r2=24.4319.772-O2=0.0625,
B=hr2R2-r2=24.43×O219.772-O2=0,
故y=0.0625x2。
所以酒盅口径39.54mm，高度24.43mm，抛物线方程y=0.0625x2。
有了抛物线方程，就可以用线切割方法制造相应的模具。
4 结论
应用本文推导出的抛物线旋转体体积和表面积的公式进行抛物面零件的设计和拉
深毛坯的计算，方法简便易行，结果准确可靠，从而提高了设计水平，保证了充分利用拉深
用的板材。该公式通用性强，可用于其它领域抛物面零件的设计和面积、体积的求解。
参考文献
1 王孝培.冲压设计资料.北京：机械工业出版社，1983.
2 四川矿业学院数学教研组编.数学手册.北京：科学出版社，1978.
(收稿日期：20000816)
(责任编辑：闫玉芬)